Теоретико-множественный смысл понятия числа и арифметических действий над ними

Чтобы понять, что такое натуральные числа, приведем такой пример. Между людьми имеются отношения, которые обозначаются словом «дружба». Каждый из вас должно быть, имеет друга или несколько друзей, и вам поэтому известно и понятно, что представляет собой это отношение. Но заметьте: имеется (существует), во-первых, отношения между людьми, называемое дружбой, во-вторых, наше (общечеловеческое) представления об этом отношении, имеется, в-третьих, слово обозначающее это отношение и наше представление о нем, и, наконец, имеется запись этого слова на каком-то языке (на русском, на немецком и т.д.). Примерно также обстоит дело с натуральными числами. Имеется свойства множеств предметов, состоящие в том, что все множества предметов можно разделить на классы, объединив в одном классе все множества, одинаковые по количеству предметов, также человечество исторически на протяжении многих веков выработало (создало) общечеловеческое (т.е. одинаковое для всех людей) представление об этих свойствах множеств предметов (подобные представления в науке называют моделями свойств). Эти представления и есть сами натуральные числа. Затем каждый народ разработал систему устной нумерации и письменной нумерации (которая принята большинством народов).

В основе устной нумерации всех народов лежит идея группового счета, т.е счета предмета не по одному, а одинаковыми группами из этих предметов. Если нас в первую очередь интересует установление количества предметов в данном множестве, то указывая каким-либо образом на каждой из предметов множества, мы произносим названия натуральных чисел один, два, три и т.д. Конечно, при этом важно не пропустить ни один из предметов, и не сосчитать один и тот же предмет дважды. Если это выполнено, то, указав на последний предмет, мы называем натуральное число, которое указывает количество предметов в перечисляемом множестве. Если, например, указав на последний предмет, мы произносим «восемь», то это значит, что количество предметов в этом множестве равно 8. Значит, это множество содержит 8 элементов.

Заметим, что в каком бы порядке мы не считали предметы множества, опыт показывает, что результат счета будет один и тот же. Если же нас интересует установление порядка между предметами данного множества, то при счете этих предметов мы используем порядковые названия натуральных чисел (первый, второй, третий и т.д.). Тем самым предметы множества мы как бы располагаем в ряд. Одновременно с этим мы устанавливаем и количество предметов в множестве. Если последний из перечисленных предметов оказался восьмым, в множестве имеется 8 элементов.

Дети должны уметь последовательно выделять признаки предметов («Что это? Для чего нужны? Какой формы? Какого размера? Какого цвета? Сколько?»). Сравнивать предметы и объединять их в группы в основе одного из выделенных признаков, в образование групп. Они выделяют признаки, общие для всей группы предметов или лишь для части предметов данной группы, т.е. выделяют подгруппы предметов по тому или иному признаку, устанавливать количественные соотношения между ними. Например: «Сколько машин? Сколько деревянных игрушек? Сколько металлических? Сколько больших игрушек? Сколько маленьких?»

В заключение можно предлагать придумать вопросы со словом сколько, основываясь на умение выделять, признаки объектов и объединять их по общему для данной подгруппы или группы в целом признаку.

Каждый раз перед ребенком ставит вопрос: почему он так думает? Это способствует лучшему осознанию количественных отношений. Упражняясь, дети сначала устанавливают, каких предметов больше, каких меньше, а затем пересчитывают предметы и сравнивают числа либо сначала определяют количество предметов, попавших в разные подгруппы, а затем устанавливают количественные отношения между ними: «Чего больше, если треугольников 6, а кругов 5?».